\section {Résolution numérique d'équations différentielles}

\subsection {Méthode générique de résolution}

\indent La méthode générale de résolution numérique d'équation différentielle consiste à calculer la solution progressivement, en avançant d'un certain pas à chaque itération. Plusieurs approches sont valides quant aux calculs sur les intervalles successifs. Nous avons étudié et mis en oeuvre dans ce projet les méthodes d'Euler, du point milieu, de Heun et de Runge-Kutta. Ces différentes méthodes se différencient par la théorie et donnent des résultats à priori légérement différents. Il nous a paru intéressant de mettre en place une méthode de résolution générique pouvant utiliser n'importe quelle approche parmis les quatre afin de les comparer et d'utiliser la plus appropriée lorsque nous devrions résoudre une équation.\\
Nous avons pu profiter alors de la force du python sur le typage des données. Le langage est très souple de ce point de vue et il en devient très simple d'écrire une fonction générique de résolution prenant en paramètre la méthode à utiliser. Nous avons alors tésté la fonction de résolution sur une équation, dont la solution théorique était connu, avec les différentes méthodes pour les juger. Les résultats, sous forme de courbes, ne nous permirent que d'établir un jugement approximatif. Il aurait été intéressant, dans un optique d'affinement, de mettre en place une évaluation numérique, cf figure \ref{fig:resol_intro}.

\begin{figure}[!h!]
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.48\textwidth]{../ressources/resolution_intro.png} 
	\includegraphics[width=0.48\textwidth]{../ressources/test_dimension1.png} 
	\caption{Résultat de la fonction de résolution d'équation différentielle sous forme graphique}
	\label{fig:resol_intro}
	\end{center}
\end{figure}


\subsection {Critique de la méthode de résolution}

\indent Comme on peut le voir sur la figure \ref{fig:resol_intro}, la méthode de résolution peut donner des résultats valides comme elle peut en donner des moins valides. Nous avons pu constater que le choix de la méthode de résolution différentielle influait un peu sur la précision du résultat, mais cependant, un problème plus sérieux et commun à toutes nous est apparu. Il est relatif à la méthode générale qui consiste à calculer la solution de l'équation progressivement par pas. Nous avons constaté que, sur l'exemple suivant :
\begin{equation}
	\begin{cases}
		y(0) = 1 \\
		y'(t) = \frac{y(t)}{1 + t^2} \\
	\end{cases}
	\label{eq:ex1}
\end{equation}
la solution éxpérimentale divergeait vite en comparaison de la solution théorique. Cela est du au choix de la largeur du pas. En effet, le pas, s'il n'est pas assez petit, induit une légère erreur dans le calcul et cause la divergence de la solution au fil des itérations dans la résolution. La solution évidente pour résoudre ce problème serait de diminuer le pas, seulement cela augemente le nombre de calculs et donc le temps d'éxécution par la machine, et de surcroit, dans certains cas, comme pour l'équation \ref{eq:ex1}, cela ne résoud que partiellement le problème. En effet, nous avons constaté que peu importe la largeur du pas, la solution éxpérimentale divergait toujours à un certain moment. Une solution aurait été de mettre en place une méthode d'adaptation du pas en fonction de l'écartement présent à la courbe théorique mais cela ne nous a pas semblé pertinent dans la mesure ou le but de ce projet est de résoudre des équation différentielles dont on ne connait pas la solution théorique.

\subsection {Champ de tangentes}

Une première méthode pour avoir une idée visuelle des solutions d'une équation différentielle consiste à tracer sur un plan les tangentes de la fonction $f(x,y)$ .
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{../ressources/champ-tangentes.png}
	\caption{Champ des tangentes}
	\label{fig:tangentes}
	\end{center}
\end{figure}
La figure \ref{fig:tangentes} représente le champ des tangentes de la fonction $f(x,y)=cos(y)$. Nous pouvons alors voir que les solutions de l'équation  $y'=cos(y)$ sont limités par des solutions constantes $\frac{\pi}{2} + k \pi $. Les solutions exactes ne pouvant être exprimées, cette méthode permet d'identifier leur comportement.